已知a＞0，函数f（x）=x3-a，x∈（0，+∞），设x1＞0，记曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线为l，（1）求l的方程；（2）设l与x轴交点为（x2，0）证明：①x2≥a13；②若x2＞a13则a13＜x2＜x1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知a＞0，函数f（x）=x3-a，x∈（0，+∞），设x1＞0，记曲线y=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-15 07:30:00

试题原文

已知a＞0，函数f（x）=x³-a，x∈（0，+∞），设x₁＞0，记曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁））处的切线为l，
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x₂，0）证明：
①x2≥a

1

3

；
②若x2＞a

1

3

则a

1

3

＜x2＜x1．

试题来源：天津试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）的导数f'（x）=3x²，
由此得切线l的方程y-（x₁³-a）=3x₁²（x-x₁）；
（2）①依题意，在切线方程中令y=0，
得x2=x1-

x

31

-a

3

x

21

=

2

x

31

+a

3

x

21

，
x2-a

1

3

=

1

3

x

21

(2

x

31

+a-3

x

21

a

1

3

)=

1

3

x

21

(x1-a

1

3

)2(2x1+a

1

3

)≥0，
∴x2≥a

1

3

，当且仅当x1=a

1

3

时取等成立．
②若x1＞a

1

3

，则x₁³-a＞0，x2-x1=

x

31

+a

3

x

21

＜0，
且由①x2≥a

1

3

，
所以a

1

3

＜x2＜x1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a＞0，函数f（x）=x3-a，x∈（0，+∞），设x1＞0，记曲线y=..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

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