已知函数f（x）=ax3+bx2-x+c（a，b，c∈R且a≠0），（1）若b=1且f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）若存在实数x1，x2（x1≠x2）满足f（x1）=f（x2），是否存在实数a，b，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+bx2-x+c（a，b，c∈R且a≠0），（1）若b=1且f（x）在（2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+bx²-x+c（a，b，c∈R且a≠0），
（1）若b=1且f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（2）若存在实数x₁，x₂（x₁≠x₂）满足f（x₁）=f（x₂），是否存在实数a，b，c使f（x）在

x1+x2

2

处的切线斜率为0，若存在，求出一组实数a，b，c否则说明理由．

试题来源：湖北模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当b=1时f'（x）=3ax²+2x-1，f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，即f'（x）在（2，+∞）上存在区间使f'（x）＞0．
①a＞0时，f'（x）=3ax²+2x-1是开口向上的抛物线．
显然f'（x）在（2，+∞）上存在区间，使f'（x）＞0即a＞0适合．
②a＜0时，f'（x）=3ax²+2x-1是开口向下的抛物线．
要使f'（x）在（2，+∞）上存在区间有f'（x）＞0，则f'（x）=3ax²+2x-1=0在（2，+∞）上有一解或两解．
即f'（2）＞0或

△＞0

f′(2)≤0

-

1

3a

＞2

?a＞-

1

4

或无解，
又a＜0∴a∈(-

1

4

，0)
综合得a∈(-

1

4

，0)∪(0，+∞)
（2）不存在实数a，b，c满足条件．
事实上，由f（x₁）=f（x₂）得：a（x₁³-x₂³）+b（x₁²-x₂²）-（x₁-x₂）=0
∵x₁≠x₂∴a（x₁²+x₁x₂+x₂²）+b（x₁+x₂）-1=0
又f'（x）=3ax²+2bx-1
∴f′(

x1+x2

2

)=3a(

x1+x2

2

)2+2b?

x1+x2

2

-1
=3a?

x

21

+

x

22

+2x1x2

4

+1-a(

x

21

+x1x2+

x

22

)-1=-

a

4

(x1-x2)2
∵a≠0且x1-x2≠0∴f′(

x1+x2

2

)≠0
故不存在实数a，b，c满足条件．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+bx2-x+c（a，b，c∈R且a≠0），（1）若b=1且f（x）在（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

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