已知函数φ(x)=ax+1，a为正常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=92，求函数f（x）的单调增区间；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有g(x2)-g(x1)x2-x1＜-1，求a-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数φ(x)=ax+1，a为正常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=92，求函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-15 07:30:00

试题原文

已知函数φ(x)=

a

x+1

，a为正常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=

9

2

，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，求a的取值范围．

试题来源：扬州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

=

x2+(2-a)x+1

x(x+1)2

，（2分）
∵a=

9

2

，令f′（x）＞0，得x＞2，或x＜

1

2

，
∴函数f（x）的单调增区间为(0，

1

2

)，（2，+∞）．（6分）
（2）∵

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，
∴

g(x2)-g(x1)

x2-x1

+1＜0，
∴

g(x2)+x2-[g(x1)+x1]

x2-x1

＜0，（8分）
设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数．
当1≤x≤2时，h(x)=lnx+

a

x+1

+x，h′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

+1，
令h′（x）≤0，得：a≥

(x+1)2

x

+(x+1)2=x2+3x+

1

x

+3对x∈[1，2]恒成立，
设m(x)=x2+3x+

1

x

+3，则m′(x)=2x+3-

1

x2

，
∵1≤x≤2，∴m′(x)=2x+3-

1

x2

＞0，
∴m（x）在[1，2]上递增，则当x=2时，m（x）有最大值为

27

2

，
∴a≥

27

2

（12分）
当0＜x＜1时，h(x)=-lnx+

a

x+1

+x，h′(x)=-

1

x

-

a

(x+1)2

+1，
令h′（x）≤0，得：a≥-

(x+1)2

x

+(x+1)2=x2+x-

1

x

-1，
设t(x)=x2+x-

1

x

-1，则t′(x)=2x+1+

1

x2

＞0，
∴t（x）在（0，1）上是增函数，
∴t（x）＜t（1）=0，
∴a≥0，（15分）综上所述，a≥

27

2

（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数φ(x)=ax+1，a为正常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=92，求函..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

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