已知数列{an}中，前n项和为Sn，点（an+1，Sn+1）在直线y=4x-2，其中n=1，2，3…，（Ⅰ）设bn=an+1-2an，且a1=1，求证数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）令f（x）=b1x+b2x2+…+bnxn，求函数f（x）在-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，前n项和为Sn，点（an+1，Sn+1）在直线y=4x-2，其中..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-15 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，前n项和为S_n，点（a_n+1，S_n+1）在直线y=4x-2，其中n=1，2，3…，
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-2a_n，且a₁=1，求证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）令f（x）=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ，求函数f（x）在点x=1处的导数f′（1）并比较f′（1）与6n²-3n的大小．

试题来源：东城区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由已知点（a_n+1，S_n+1）在直线y=4x-2上．
∴S_n+1=4（a_n+1）-2．
即S_n+1=4a_n+2．（n=1，2，3，）
∴S_n+2=4a_n+1+2．
两式相减，得S_n+2-S_n+1=4a_n+1-4a_n．
即a_n+2=4a_n+1-4a_n．（3分）
a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）．
∵b_n=a_n+1-2a_n，（n=1，2，3，）
∴b_n+1=2b_n．
由S₂=a₁+a₂=4a₁+2，a₁=1．
解得a₂=5，b₁=a₂-2a₁=3．
∴数列{b_n}是首项为3，公式为2的等比数列．（6分）
（II）由（I）知b_n=3?2^n-1，
∵f（x）=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ，
∴f′（x）=b₁+2b₂x+…+nb_nx^n-1．
从而f′（1）=b₁+2b₂+…+nb_n
=3+2?3?2+3?3?2²+…+n?3?2^n-1
=3（1+2?2+3?2²+…+n?3?2^n-1）（8分）
设T_n=1+2?2+3?2²+…+n?2^n-1，
2T_n=2+2?2²+3?2³+…+（n-1）?2^n-1+n?2ⁿ．
两式相减，得-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n?2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n?2n．
∴T_n=（n-1）?2ⁿ+1．
∴f′（1）=3（n-1）?2ⁿ+3．（11分）
由于f′（1）-（6n²-3n）=3[（n-1）?2ⁿ+1-2n²+n]
=3（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]．
设g（n）=f′（1）-（6n²-3n）．
当n=1时，g（1）=0，∴f′（1）=6n²-3n；
当n=2时，g（2）=-3＜0，∴f′（1）＜6n²-3n；
当n≥3时，n-1＞0，又2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^n-1+C_nⁿ≥2n+2＞2n+1，
∴（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]＞0，即g（n）＞0，从而f′（1）＞6n²-3n．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，前n项和为Sn，点（an+1，Sn+1）在直线y=4x-2，其中..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

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