已知函数f（x）=2x2+ax，g（x）=lnx，F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）若F（x）在x=1处取得极小值，求F（x）的极大值；（Ⅱ）若F（x）在区间(0，14)上是增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a=3，问是否存-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2x2+ax，g（x）=lnx，F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）若F（x）在x=1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2x²+ax，g（x）=lnx，F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）若F（x）在x=1处取得极小值，求F（x）的极大值；
（Ⅱ）若F（x）在区间(0，

1

4

)上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=3，问是否存在与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切的直线？若存在，判断有几条？并加以证明，若不存在，说明理由．

试题来源：合肥模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）F（x）=f（x）+g（x）=2x²+ax+lnx，
∴F′(x)=4x+a+

1

x

(x＞0)，又F（x）在x=1处取得极小值
∴F'（1）=4+a+1=0，∴a=-5，F（x）=2x²-5x+lnx
∴F′(x)=4x-5+

1

x

=

4x2-5x+1

x

=

(4x-1)(x-1)

x

(x＞0)

x

(0，

1

4

)

1

4

(

1

4

，1)

1

（1，+∞）

F'（x）

+

0

-

0

+

F（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

∴F（x）的极大值为F(

1

4

)=-

9

8

-2ln2．
（Ⅱ）由F（x）在区间(0，

1

4

)上是增函数得
当x∈(0，

1

4

)时，F′(x)=4x+a+

1

x

≥0恒成立，设h(x)=-(4x+

1

x

)
则a≥h（x），又h′(x)=-(4-

1

x2

)=

1-4x2

x2

＞0，∴h（x）在(0，

1

4

)上是增函数，
∴a≥h（x）_max，a≥h(

1

4

)=-5，即实数a的取值范围为[-5，+∞）．
（Ⅲ）当a=3时，f（x）=2x²+3x，g（x）=lnx，∴f'（x）=4x+3，g′(x)=

1

x

．
设直线l与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则y₁=2x₁²+3x₁，y₂=lnx₂
∴l：y-（2x₁²+3x₁）=（4x₁+3）（x-x₁），即y=（4x₁+3）x-2x₁²
又l过点B（x₂，y₂）且f'（x）=g'（x），∴y₂=（4x₁+3）x₂-2x₁²且4x1+3=

1

x2

∴lnx₂=（4x₁+3）x₂-2x₁²，∴-ln（4x₁+3）=1-2x₁²
方程2x₁²-ln（4x₁+3）-1=0有根，设φ（x）=2x²-ln（4x+3）-1，
则φ′(x)=4x-

4

4x+3

=

4(4x2+3x-1)

4x+3

=

4(4x-1)(x+1)

4x+3

(x＞-

3

4

)
当x∈(-

3

4

，

1

4

)时，φ'（x）＜0，φ（x）是减函数，
当x∈(

1

4

，+∞)时，φ'（x）＞0，φ（x）是增函数，
∴φ(x)min=φ(

1

4

)=-

7

8

-ln4＜0．
又当x＞-

3

4

且x趋向于-

3

4

时，φ（x）趋向于+∞，
∴φ(

e5-3

4

)=2(

e5-3

4

)2-lne5-1＞2(

25-3

4

)2-6＞0，
∴φ（x）在区间(-

3

4

，

1

4

)、(

1

4

，+∞)上各有一个根．
∴与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切的直线存在，有2条．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2x2+ax，g（x）=lnx，F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）若F（x）在x=1..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

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