已知函数y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（Ⅰ）要使f（x）在（0，2）上单调递增，试求a的取值范围；（Ⅱ）当a＜0时，若函数满足y极大值=1，y极小值=-3，（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（Ⅰ）要使f（x）在（0，2）上单调递..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-15 07:30:00

试题原文

已知函数y=f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）要使f（x）在（0，2）上单调递增，试求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＜0时，若函数满足y_极大值=1，y_极小值=-3，
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的图象上斜率最小的切线方程．
（Ⅲ）求a取值范围．

试题来源：温州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f'（x）=-3x²+2ax，要使f（x）在（0，2）上单调递增，
则f'（x）≥0在（0，2）上恒成立 …（2分）
∵f'（x）是开口向下的抛物线∴

f′(0)≥0

f′(2)=-12+4a≥0

∴a≥3…（5分）
（Ⅱ）（1）令f′(x)=-3x2+2ax=0，得x1=0，x2=

2

3

a
∵a＜0，∴y_极大值=f（0）=b=1
∴y极小值=f(

2

3

a)=-

8

27

a3+

4

9

a3+1=-3，
∴a=-3
∴f（x）=-x³-3x+1…（9分）
（2）∵当x=0，k=f′（x）=-3x²-3取得最大值-3，
∴函数y=f（x）的图象上斜率最大的切线方程为：y-1=-3（x-0），
即y=-3x+1．
（Ⅲ）∵0≤θ≤

π

4

，∴tanθ=-3x²+2ax∈[0，1]
据题意 0≤-3x²+3ax≤1在（0，1]上恒成立 …（10分）
由 -3x2+2ax≥0，得a≥

3

2

x，a≥

3

2

由-3x2+2ax≤1，得a≤

3

2

x+

1

2x

又

3

2

x+

1

2x

≥

3

(当且仅当x=

3

时取”=”)，∴a≤

3

…（14分）
综上，a的取值范围是

3

2

≤a≤

3

…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（Ⅰ）要使f（x）在（0，2）上单调递..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

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