设a∈[-2，0]，已知函数f(x)=x3-(a+5)x，x≤0x3-a+32x2+ax，x＞0（Ⅰ）证明f（x）在区间（-1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）-数学试题及答案

1、试题题目：设a∈[-2，0]，已知函数f(x)=x3-(a+5)x，x≤0x3-a+3..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-15 07:30:00

试题原文

设a∈[-2，0]，已知函数f(x)=

x3-(a+5)x，

x≤0

x3-

a+3

2

x2+ax，

x＞0

（Ⅰ）证明f（x）在区间（-1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x₁x₂x₃≠0，证明x1+x2+x3＞

1

3

．

试题来源：天津试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）令f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0)，f2(x)=x3-

a+3

2

x2+ax(x＞0)．
①

f

′1

(x)=3x2-(a+5)，由于a∈[-2，0]，从而当-1＜x＜0时，

f

′1

(x)=3x2-(a+5)＜3-a-5≤0，
所以函数f₁（x）在区间（-1，0）内单调递减，
②

f

′2

(x)=3x2-(a+3)x+a=（3x-a）（x-1），由于a∈[-2，0]，所以0＜x＜1时，

f

′2

(x)＜0；
当x＞1时，

f

′2

(x)＞0，即函数f₂（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，∞）上单调递增．
综合①②及f₁（0）=f₂（0），可知：f（x）在区间（-1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；
（II）证明：由（I）可知：f^′（x）在区间（-∞，0）内单调递减，在区间(0，

a+3

6

)内单调递减，在区间(

a+3

6

，+∞)内单调递增．
因为曲线y=f（x）在点P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x₁，x₂，x₃互不相等，且f′(x1)=f′(x2)=f′(x3)．
不妨x₁＜0＜x₂＜x₃，由3

x

21

-(a+5)=3

x

22

-(a+3)x2=3

x

23

-(a+3)x3+a．
可得3

x

22

-3

x

23

-(a+3)(x2-x3)=0，解得x2+x3=

a+3

3

，从而0＜x2＜

a+3

6

＜x3．
设g（x）=3x²-（a+3）x+a，则g(

a+3

6

)＜g(x2)＜g(0)=a．
由3

x

21

-(a+5)=g(x2)＜a，解得-

2a+5

3

＜x1＜0，
所以x1+x2+x3＞-

2a+5

3

+

a+3

3

，
设t=

2a+5

3

，则a=

3t2-5

2

，
∵a∈[-2，0]，∴t∈[

3

，

15

3

]，
故x1+x2+x3＞-t+

3t2+1

6

=

1

2

(t-1)2-

1

3

≥-

1

3

，
故x1+x2+x3＞-

1

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a∈[-2，0]，已知函数f(x)=x3-(a+5)x，x≤0x3-a+3..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：