已知圆C与两圆x2+（y+4）2=1，x2+（y-2）2=1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M（x，y）的距离的最小值为m，点F（0，1）与点M（x，y）的距离为n．（Ⅰ）求圆C的圆心轨迹L的方程；-数学试题及答案

1、试题题目：已知圆C与两圆x2+（y+4）2=1，x2+（y-2）2=1外切，圆C的圆心轨迹方程..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-02 07:30:00

试题原文

已知圆C与两圆x²+（y+4）²=1，x²+（y-2）²=1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M（x，y）的距离的最小值为m，点F（0，1）与点M（x，y）的距离为n．
（Ⅰ）求圆C的圆心轨迹L的方程；
（Ⅱ）求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程；
（Ⅲ）试探究轨迹Q上是否存在点B（x₁，y₁），使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于

1

2

．若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

试题来源：肇庆一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）两圆半径都为1，两圆心分别为C₁（0，-4）、C₂（0，2），
由题意得CC₁=CC₂，可知圆心C的轨迹是线段C₁C₂的垂直平分线，C₁C₂的中点为（0，-1），直线C₁C₂的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段C₁C₂的垂直平分线方程为y=-1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1．（4分）
（Ⅱ）因为m=n，所以M（x，y）到直线y=-1的距离与到点F（0，1）的距离相等，
故点M的轨迹Q是以y=-1为准线，点F（0，1）为焦点，顶点在原点的抛物线，
∴

p

2

=1，即p=2，所以，轨迹Q的方程是x²=4y；（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得y=

1

4

x2，y′=

1

2

x，所以过点B的切线的斜率为k=

1

2

x1，
设切线方程为y-y1=

1

2

x1(x-x1)，
令x=0得y=-

1

2

x12+y1，令y=0得x=-

2y1

x1

+x1，
因为点B在x²=4y上，所以y1=

1

4

x12，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=

1

2

|

1

4

x12||

1

2

x1|=

1

16

|x13|
设S=

1

2

，即

1

16

|x13|=

1

2

得|x₁|=2，所以x₁=±2
当x₁=2时，y₁=1，当x₁=-2时，y₁=1，所以点B的坐标为（2，1）或（-2，1）．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知圆C与两圆x2+（y+4）2=1，x2+（y-2）2=1外切，圆C的圆心轨迹方程..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆与圆的位置关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：