已知函数f(x)=(x2+x-a)exa（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x=-5时，f（x）取得极值．①若m≥-5，求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；②求证：对任意x1，x2∈[-2，1]，都-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=(x2+x-a)exa（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=(x2+x-a)e

x

a

（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x=-5时，f（x）取得极值．
①若m≥-5，求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；
②求证：对任意x₁，x₂∈[-2，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2．

试题来源：房山区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=

1

a

(x2+x-a)e

x

a

+（2x+1）e

x

a

=

1

a

x(x+1+2a)e

x

a

，
当a=1时，f′（x）=x（x+3）e^x，
解f′（x）＞0得x＞0或x＜-3，解f′（x）＜0得-3＜x＜0，
所以f（x）的单调增区间为（-∞，-3）和（0，+∞），单调减区间为（-3，0）．
（Ⅱ）①当x=-5时，f（x）取得极值，所以f′（-5）=

1

a

(-5)(-5+1+2a)e

x

a

=0，
解得a=2（经检验a=2符合题意），
f′（x）=

1

2

x(x+5)e

x

2

，当x＜-5或x＞0时f′（x）＞0，当-5＜x＜0时f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，-5）和（0，+∞）上递增，在（-5，0）上递减，
当-5≤m≤-1时，f（x）在[m，m+1]上单调递减，f_min（x）=f（m+1）=m（m+3）e

m+1

2

，
当-1＜m＜0时，m＜0＜m+1，f（x）在[m，0]上单调递减，在[0，m+1]上单调递增，f_min（x）=f（0）=-2，
当m≥0时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，f_min（x）=f（m）=（m+2）（m-1）e

m

2

，
综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值为
fmin(x)=

m(m+3)e

m+1

2

，-5≤m≤-1

-2，-1＜m＜0

(m+2)(m-1)e

m

2

，m≥0

；
②令f′（x）=0得x=0或x=-5（舍），
因为f（-2）=0，f（0）=-2，f（1）=0，所以f_max（x）=0，f_min（x）=-2，
所以对任意x₁，x₂∈[-2，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）=2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=(x2+x-a)exa（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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