发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-14 07:30:00
试题原文 |
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由题意可知,当a=0时,a1=0,则3a1<12. 由题设知f′n(x)=x2-(3an+n2)x+3n2an=(x-3an)(x-n2). 令f′n(x)=0,得x1=3an,x2=n2. 若3an<n2,则 当x<3an时,f′n(x)>0,fn(x)单调递增; 当3an<x<n2时,f′n(x)<0,fn(x)单调递减; 当x>n2时,f′n(x)>0,fn(x)单调递增. 故fn(x)在x=n2取得极小值. 所以a2=12=1 因为3a2=3<22,则,a3=22=4 因为3a3=12>33,则a4=3a3=3×4, 又因为3a4=36>42,则a5=3a4=32×4, 由此猜测:当n≥3时,an=4×3n-3. 下面先用数学归纳法证明:当n≥3时,3an>n2. 事实上,当n=3时,由前面的讨论知结论成立. 假设当n=k(k≥3)时,3ak>k2成立,则由(2)知,ak+1=3ak>k2, 从而3ak+1-(k+1)2>3k2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-1>0, 所以3ak+1>(k+1)2. 故当n≥3时,3an>n2成立. 于是,当n≥3时,an+1=3an,而a3=4,因此an=4×3n-3. 综上所述,当a=0时,a1=0,a2=1,an=4×3n-3(n≥3). |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“数列{an}(n∈N*)中,a1=a,an+1是函数fn(x)=13x3-12(3an+n2)x2+3n..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的极值与导数的关系”。