已知函数f（x）=a（x-1x）-2lnx．（a∈R）（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2x-y+b=0，求a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=a（x-1x）-2lnx．（a∈R）（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx．（a∈R）
（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2x-y+b=0，求a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）函数f（x）的定义域是{x|x＞0}．f′（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

，∵f（1）=0，∴切点为（1，0），带入切线方程2x-y+b=0得出b=-2
又f′（1）=2a-2=2，解得a=2
（Ⅱ）f′（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

，（x≥1）
（1）当a≤0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，又f（1）=0，所以f（x）≤0，其与条件f（x）≥0在[1，+∞）恒成立矛盾，故舍去．
（2）当0＜a＜1时，f'（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

在[1，

1

a

）上满足f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，又f（1）=0，所以f（x）≤0，其与条件f（x）≥0在[1，+∞）恒成立矛盾，故舍去．
（3）当a≥1时，a（1+

1

x2

）≥1+

1

x2

≥

2

x

，f'（x）≥0，此时函数f（x）单调递增，又f（1）=0，所以f（x）≥0．
故实数a的取值范围是a≥1．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=a（x-1x）-2lnx．（a∈R）（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：