已知a＞0，数列{an}满足a1=a，an+1=a+1an，n=1，2，….（I）已知数列{an}极限存在且大于零，求A=limn→∞an（将A用a表示）；（II）设bn=an-A，n=1，2，…，证明：bn+1=-bnA(bn+A)；（III-数学试题及答案

1、试题题目：已知a＞0，数列{an}满足a1=a，an+1=a+1an，n=1，2，…...

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知a＞0，数列{an}满足a1=a，an+1=a+

1

an

，n=1，2，….
（I）已知数列{a_n}极限存在且大于零，求A=

lim

n→∞

an（将A用a表示）；
（II）设bn=an-A，n=1，2，…，证明：bn+1=-

bn

A(bn+A)

；
（III）若|bn|≤

1

2n

对n=1，2，…都成立，求a的取值范围．

试题来源：湖北试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由

lim

n→∞

an存在，且A=

lim

n→∞

an(A＞0)，对an+1=a+

1

an

两边取极限得A=a+

1

A

，解得A=

a±

a2+4

2

．又A＞0，∴A=

a+

a2+4

2

.
（II）由an=bn+A，an+1=a+

1

an

得bn+1+A=a+

1

bn+A

.∴bn+1=a-A+

1

bn+A

=-

1

A

+

1

bn+A

=-

bn

A(bn+A)

.
即bn+1=-

bn

A(

b

n

+A)

对n=1，2，都成立
（III）令|b1|≤

1

2

，得|a-

1

2

(a+

a2+4

)|≤

1

2

.
∴|

1

2

(

a2+4

-a)|≤

1

2

.
∴

a2+4

-a≤1，解得a≥

3

2

.
现证明当a≥

3

2

时，|bn|≤

1

2n

对n=1，2，都成立.
（i）当n=1时结论成立（已验证）．
（ii）假设当n=k(k≥1)时结论成立，即|bk|≤

1

2k

，那么|bk+1|=

|bk|

|A(bk+A)|

≤

1

A|bk+A|

×

1

2k

故只须证明

1

A|bk+A|

≤

1

2

，即证A|bk+A|≥2对a≥

3

2

成立.
由于A=

a+

a2+4

2

=

2

a2+4

-a

，
而当a≥

3

2

时，

a2+4

-a≤1，∴A≥2.
∴|bk+A|≥A-|bk|≥2-

1

2k

≥1，即A|bk+A|≥2.
故当a≥

3

2

时，|bk+1|≤

1

2

×

1

2k

=

1

2k+1

.
即n=k+1时结论成立．
根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立．
故|bn|≤

1

2n

对n=1，2，都成立的a的取值范围为[

3

2

，+∞).

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a＞0，数列{an}满足a1=a，an+1=a+1an，n=1，2，…...”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：