函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R），（1）当a＞0时，求函数f（x）的极大值和极小值；（2）当a＞3时，求对于任意实数k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）恒成立的x取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R），（1）当a＞0时，求函数f（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），
（1）当a＞0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）当a＞3时，求对于任意实数k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）恒成立的x取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，
∴f'（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a），
令f'（x）=0，
解得x=

a

3

或x=a．…（3分）
∵a＞0，∴当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x

(-∞，

a

3

)

a

3

(

a

3

，a)

a

（a，+∞）

f'（x）

-

0

+

0

-

…（6分）
因此，函数f（x）在x=

a

3

处取得极小值f(

a

3

)，且f(

a

3

)=-

4

27

a3；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．…（8分）
（2）由a＞3，得

a

3

＞1，
当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．
由（1）知，f（x）在（-∞，1]上是减函数，
要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），
只要k-cosx≤k²-cos²x（x∈R），
即cos²x-cosx≤k²-k对一切k∈[-1，0]恒成立．
令g（k）=k²-k，当k∈[-1，0]，
g（k）_min=0，
∴cos²x-cosx≤0，解得0≤cosx≤1，
即2kπ-

π

2

≤x≤2kπ+

π

2

，k∈Z…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R），（1）当a＞0时，求函数f（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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