已知a，b，c∈R，且三次方程f（x）=x3-ax2+bx-c=0有三个实根x1，x2，x3．（1）类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；（2）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β-数学试题及答案

1、试题题目：已知a，b，c∈R，且三次方程f（x）=x3-ax2+bx-c=0有三个实根x1，x2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知a，b，c∈R，且三次方程f（x）=x³-ax²+bx-c=0有三个实根x₁，x₂，x₃．
（1）类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；
（2）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β处取得极值且-1＜α＜0＜β＜1，试求此方程三个根两两不等时c的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知，得x³-ax²+bx-c=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃），比较两边系数，
得a=x₁+x₂+x₃，b=x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁，c=x₁x₂x₃． …（4分）
（2）令f（x）=x³-ax²+bx-c，要f（x）=0有三个不等的实数根，则函数f（x）有一个极大值和一个极小值，且极大值大于0，极小值小于0． …（5分）
由已知，得f′（x）=3x²-2ax+b=0有两个不等的实根α，β，
∵-1＜α＜0＜β＜1，
∴

f′(-1)=3+2a+b＞0 (1)

f′(0)=b＜0 (2)

f′(1)=3-2a+b＞0(3)

得-3＜b＜0．…（6分）
又|b|＜2，b∈Z，∴b=-1，将b=-1代入（1）（3），有-1＜a＜1，又a∈Z，∴a=0．
∴f（x）=x³-x-c，f′（x）=3x²-1，…（8分）
则α=-

3

，β=

3

，且f（x）在x=-

3

处取得极大值，在x=

3

处取得极小值…（10分）
故f（x）=0要有三个不等的实数根，
则必须

f(-

3

)=(-

3

)3-(-

3

)-c＞0

f(

3

)=(

3

)3-

3

-c＜0

…（12分）
?

c＞-

2

3

9

c＜

2

3

9

，
解得-

2

3

9

＜c＜

2

3

9

． …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a，b，c∈R，且三次方程f（x）=x3-ax2+bx-c=0有三个实根x1，x2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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