已知a∈R，设函数f(x)=13x3-a+12x2+ax．（I）若a=2，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（II）求函数f（x）在区间[2，3]上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知a∈R，设函数f(x)=13x3-a+12x2+ax．（I）若a=2，求曲线y=f（x）在点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知a∈R，设函数f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+ax．
（ I）若a=2，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（ II）求函数f（x）在区间[2，3]上的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（ I）a=2时，f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x，所以f′（x）=x²-3x+2
所以f′（3）=2，而f(3)=

3

2

，所以切线方程为y-

3

2

=2(x-3)
即y=2x-

9

2

（一般式：4x-2y-9=0）
（ II）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）
当a＜1时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
当a=1时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
当a＞1时，
①1＜a≤2时，在[2，3]上f′（x）＞0，即f（x）在区间[2，3]上单调递增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
②2＜a＜3时，在[2，a）上f′（x）＜0，在（a，3]上f′（x）＞0，故f（x）_max=max{f（2），f（3）}，而f(2)=

2

3

，f(3)=

9

2

-

3

2

a，
所以当2＜a＜

23

9

时，f（3）＞f（2），故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
当

23

9

≤a＜3时，f（3）＜f（2），故f（x）_max=f(2)=

2

3

③a≥3时，在[2，3]上f′（x）≤0，即f（x）在区间[2，3]上单调递减，
故f（x）_max=f(2)=

2

3

综上所述：f(x)max=

9

2

-

3

2

a(a≤

23

9

)

2

3

(a＞

23

9

)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a∈R，设函数f(x)=13x3-a+12x2+ax．（I）若a=2，求曲线y=f（x）在点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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