已知函数f（x）=x3-ax2-x+2．（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）若对?x∈R，有f′(x)≥|x|-43成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-ax2-x+2．（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-ax²-x+2．（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）若对?x∈R，有f′(x)≥|x|-

4

3

成立，求实数a的取值范围．

试题来源：揭阳一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=1时，f（x）=x³-x²-x+2，求导函数可得f'（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），（2分）
令f'（x）=0，解得x1=-

1

3

，x2=1．
当f'（x）＞0时，得x＞1或x＜-

1

3

；当f'（x）＜0时，得-

1

3

＜x＜1．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x

(-∞，-

1

3

)

-

1

3

(-

1

3

，1)

1

（1，+∞）

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

单调递增

极大

单调递减

极小

单调递增

（4分）
∴当x=-

1

3

时，函数f（x）有极大值，f(x)极大=f(-

1

3

)=2

5

27

，（5分）
当x=1时函数f（x）有极小值，f（x）_极小=f（1）=（16分）
（2）∵f'（x）=3x²-2ax-1，∴对?x∈R，f′(x)≥|x|-

4

3

成立，
即3x2-2ax-1≥|x|-

4

3

对?x∈R成立，（7分）
①当x＞0时，有3x2-(2a+1)x+

1

3

≥0，即2a+1≤3x+

1

3x

，对?x∈（0，+∞）恒成立，（9分）
∵3x+

1

3x

≥2

3x?

1

3x

=2，当且仅当x=

1

3

时等号成立，∴2a+1≤2?a≤

1

2

（11分）
②当x＜0时，有3x2+(1-2a)x+

1

3

≥0，即1-2a≤3|x|+

1

3|x|

，对?x∈（-∞，0）恒成立，
∵3|x|+

1

3|x|

≥2

3|x|?

1

3|x|

=2，当且仅当x=-

1

3

时等号成立，
∴1-2a≤2?a≥-

1

2

（13分）
③当x=0时，a∈R
综上得实数a的取值范围为[-

1

2

，

1

2

]．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-ax2-x+2．（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：