已知函数f（x）=1+alnxx，（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）在（1）条件下，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切，求实数k的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=1+alnxx，（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1+alnx

x

，（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（2）在（1）条件下，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切，求实数k的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=

1+alnx

x

∴f^′（x）=

a-1-alnx

x2

∵函数f（x）在x=1处取得极值
∴f^′（1）=a-1=0
∴a=1
经检验，a=1时f^′（x）=-

lnx

x2

故0＜x＜1时f^′（x）＞0，x＞1时f^′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减故f（x）在x=1处取得极值．
∴a=1
（2）由（1）可知a=1
∴f（x）=

1+lnx

x

∴f^′（x）=-

lnx

x2

设切点A（x₀，y₀）
∴k=f^′（x₀）=-

Inx0

x

20

又∵k=k_OA=

1+lnx0

x02

∴

1+Inx0

x

20

=-

Inx0

x

20

∴lnx₀=-

1

2

∴x0= e-

1

2

∴k=k_OA=

1+lnx0

x02

=

1-

1

2

(e-

1

2

)2

=

e

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=1+alnxx，（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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