设函数f（x）=ex-ax-2。（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x-k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值。-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ex-ax-2。（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=e^x-ax-2。
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x-k） f ′（x）+x+1＞0，求k的最大值。

试题来源：高考真题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）函数f（x）=e^x-ax-2的定义域是R，f′（x）=e^x-a，
若a≤0，则f′（x）=e^x-a≥0，
所以函数f（x）=e^x-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增
若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=e^x-a＜0；
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e^x-a＞0；
所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增。
（2）由于a=1，所以，（x-k）f′（x）+x+1=（x-k）（e^x-1）+x+1
故当x＞0时，（x-k）f′（x）+x+1＞0等价于k＜

（x＞0）①
令g（x）=

，则g′（x）=

由（1）知，函数h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上存在唯一的零点，
故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，
设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；
当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；
所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）
又由g′（α）=0，可得e^α=α+2
所以g（α）=α+1∈（2，3）
由于①式等价于k＜g（α），
故整数k的最大值为2。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ex-ax-2。（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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