发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-13 07:30:00
试题原文 |
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解:(Ⅰ)f′(x)=axlna+2x﹣lna=2x+(ax﹣1)lna 由于a>1,故当x∈(0,+∞)时,lna>0,ax﹣1>0,所以f′(x)>0, 故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增 (Ⅱ)当a>0,a≠1时,因为f′(0)=0,且f′(x)在R上单调递增, 故f′(x)=0有唯一解x=0 所以x,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示: 又函数y=|f(x)﹣t|﹣1有三个零点, 所以方程f(x)=t±1有三个根,而t+1>t﹣1, 所以t﹣1=(f(x))min=f(0)=1,解得t=2; (Ⅲ)因为存在x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1, 所以当x∈[﹣1,1]时,|(f(x))max﹣(f(x))min| =(f(x))max﹣(f(x))min≥e﹣1, 由(Ⅱ)知,f(x)在[﹣1,0]上递减,在[0,1]上递增, 所以当x∈[﹣1,1]时,(f(x))min=f(0)=1,(f(x))max=max{f(﹣1),f(1)}, 而, 记, 因为(当t=1时取等号), 所以在t∈(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0, 所以当t>1时,g(t)>0;当0<t<1时,g(t)<0, 也就是当a>1时,f(1)>f(﹣1);当0<a<1时,f(1)<f(﹣1) ①当a>1时,由f(1)﹣f(0)≤e﹣1a﹣lna≤e﹣1a≤e, ②当0<a<1时,由, 综上可知,所求a的取值范围为. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1).(Ⅰ)当a>1时,..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的最值与导数的关系”。