发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-13 07:30:00
试题原文 |
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解:(1)∵函数f(x)=,g(x)=alnx,a∈R. f′(x)=,g′(x)=(x>0), 由已知得解得 ∴两条曲线交点的坐标为(e2,e). 切线的斜率为k=f′(e2)=, ∴切线的方程为y﹣e=(x﹣e2). (2)由条件知h(x)=﹣alnx(x>0), ∴h′(x)=﹣=, ①当a>0时,令h′(x)=0,解得x=4a2. ∴当0<x<4a2时,h′(x)<0,h(x)在(0,4a2)上单调递减; 当x>4a2时,h′(x)>0,h(x)在(4a2,+∞)上单调递增. ∴x=4a2是h(x)在(0,+∞)上的惟一极值点,且是极小值点, 从而也是h(x)的最小值点. ∴最小值φ(a)=h(4a2)=2a﹣aln(4a2)=2a[1﹣ln (2a)]. ②当a≤0时,h′(x)=>0,h(x)在(0,+∞)上单调递增,无最小值. 故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)=2a[1﹣ln (2a)](a>0). (3)证明:由(2)知φ(a)=2a(1﹣ln 2﹣ln a),则φ′(a)=﹣2ln (2a). 令φ′(a)=0,解得a=. 当0<a<时,φ′(a)>0, ∴ φ(a)在(0,)上单调递增; 当a>时,φ′(a)<0, ∴φ(a)在(,+∞)上单调递减. ∴φ(a)在a=处取得极大值φ()=1. ∴φ(a)在(0,+∞)上有且只有一个极值点, ∴φ()=1也是φ(a)的最大值. ∴当a∈(0,+∞)时,总有φ(a)≤1. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=,g(x)=alnx,a∈R.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的最值与导数的关系”。