已知在函数f（x）=mx3﹣x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为．（1）求m、n的值；（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k﹣1995对于x∈[﹣1，3]恒成立？如果存在，请求出最小-数学试题及答案

1、试题题目：已知在函数f（x）=mx3﹣x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知在函数f（x）=mx³﹣x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

．
（1）求m、n的值；
（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k﹣1995对于x∈[﹣1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由．

试题来源：湖南省月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）f'（x）=3mx²﹣1，依题意，得

，即1=3m﹣1，

∴

，把N（1，n）代得，得

，
∴

（2）令

，则

，
当

时，f'（x）=2x²﹣1＞0，f（x）在此区间为增函数当

时，f'（x）=2x2﹣1＜0，f（x）在此区间为减函数
当

时，f'（x）=2x²﹣1＞0，f（x）在此区间为增函数处取得极大值
又因此，当

，要使得不等式f（x）≤k﹣1995
对于f（x）≤k﹣1995对于x∈[﹣1，3]恒成立，则k≥15+1995=2010
所以，存在最小的正整数k=2010，使得不等式f（x）≤k﹣1992对于x∈[﹣1，3]恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知在函数f（x）=mx3﹣x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为．..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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