已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f(x)=2x4x+1．（1）证明f（x）在（0，1）上为减函数；（2）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；（3）当λ取何值时，方程f（-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-09 07:30:00

试题原文

已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）证明f（x）在（0，1）上为减函数；
（2）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；
（3）当λ取何值时，方程f（x）=λ在R上有实数解．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：设x1，x2∈(0，1)且x1＜

x

2

则，
f(x1) -f(x2)=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1(4x2+1) -2x2(4x1+1)

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x2 -2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

…（3分）
∵0＜x1＜

x

2

＜1，∴2x2＞2x1 ，2x1+x2＞1
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上为减函数．…（4分）
（2）若x∈（-1，0）∴-x∈（0，1），∴f(-x)=

2-x

4-x+1

，
又∵f（x）为奇函数，∴f(-x)=

2-x

4-x+1

=-f(x)∴f(x)=-

2-x

4-x+1

…（6分）
又∵f（-1）=f（1），且f（-1）=-f（1）∴f（1）=f（-1）=0
∴f(x)=

2x

4x+1

x∈(0，1)

0 x=0，±1

2x

4x+1

x∈(-1，0)

…（8分）
（3）若x∈（0，1），∴f(x)=

2x

4x+1

=

1

2x+

1

2x

又∵2x+

1

2x

∈(2，

5

2

)，∴f(x)∈(

2

5

，

1

2

)，…（10分）

若x∈（-1，0），∴f(x)=-

2x

4x+1

=-

1

2x+

1

2x

∴f(x)∈(-

1

2

，-

2

5

)，
∴λ的取值范围是{λ|λ=0，或-

1

2

＜λ＜-

2

5

，或

2

5

＜λ＜

1

2

}．…12 分

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：