已知函数f（x）=x22x+1（x＞0）（1）当x1＞0，x2＞0且f（x1）?f（x2）=1时，求证：x1?x2≥3+22（2）若数列{an}满足a1=1an＞0an+1=f（an）（n∈N*）求数列{an}的通项公式．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x22x+1（x＞0）（1）当x1＞0，x2＞0且f（x1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

x2

2x+1

（x＞0）
（1）当x₁＞0，x₂＞0且f（x₁）?f（x₂）=1时，求证：x₁?x₂≥3+2

2

（2）若数列{a_n}满足a₁=1a_n＞0a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）求数列{a_n}的通项公式．

试题来源：广州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵x₁＞0，x₂＞0，f（x₁）?f（x₂）=1，
∴

x12

2x1+1

?

x22

2x2+1

=1，…（2分）
∴(x1x2)2=(2x1+1)(2x2+1)
=4x₁x₂+2（x₁+x₂）+1
≥4x1x2+4

x1x2

+1
=（2

x1x2

+1）²．…（4分）
∴x1x2≥2

x1x2

+1，
∴(

x1x2

-1)2≥2，
∴

x1x2

-1≥

2

，或

x1x2

-1≤-

2

（舍去）．
∴

x1x2

≥

2

+1，
∴x1x2≥(

2

+1)2=3+2

2

．…（6分）
（2）解法一：∵a₁=1，a_n＞0，an+1=f(an)=

an2

2an+1

，
∴

1

an+1

=

2an+1

an2

=

2

an

+

1

an2

=(1+

1

an

)2-1，
∴1+

1

an+1

=(1+

1

an

)2．…（8分）
∴lg(1+

1

an+1

)=lg(1+

1

an

)2=2lg(1+

1

an

)．…（10分）
∴数列{lg(1+

1

an

)}是首项为lg（1+

1

a1

）=lg2，公比为2的等比数列．
∴lg(1+

1

an

)=2n-1?lg2=lg22n-1．…（12分）
∴1+

1

an

=22n-1，
∴an=

1

22n-1-1

．…（14分）
解法二：∵a₁=1，a_n＞0，an+1=f(an)=

an2

2an+1

，
∴

an+1

1+an+1

=

an2

2an+1

1+

an2

2an+1

=

an2

an2+2an+1

=(

an

1+an

)2，…（8分）
∴lg(

an+1

1+an+1

)=lg(

an

1+an

)2=2lg(

an

1+an

)．…（10分）
∴数列{lg(

a n

1+an

)}是首项为lg(

a1

1+a1

)=lg

1

2

，公比为2的等比数列．
∴lg(

an

1+an

)=2n-1?lg

1

2

=lg(

1

2

)2n-1，…（12分）
∴

an

1+an

=(

1

2

)2n-1，
∴an=

1

22n-1-1

．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x22x+1（x＞0）（1）当x1＞0，x2＞0且f（x1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：