已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）对任意x、y∈R恒成立，在R上单调递减．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若对一切x∈[π4，π2]，关于x的不等式f[2sin2(π4+x)]-f(3cos2x)-f(m)＜0恒成立-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）对任意x、y∈R恒成立，在R上单调..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）对任意x、y∈R恒成立，在R上单调递减．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若对一切x∈[

π

4

，

π

2

]，关于x的不等式f[2sin2(

π

4

+x)]-f(

3

cos2x)-f(m)＜0恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

.证明：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）对任意x、y∈R恒成立
令x=y=0可得，f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
令y=-x
∴f（0）=f（x）+f（-x）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数；（4分）
（2）∵函数f（x）是奇函数
由f[2sin2(

π

4

+x)]-f(

3

cos2x)-f(m)＜0
得f[2sin2(

π

4

+x)]＜f(

3

cos2x)+f(m)
即f[2sin2(

π

4

+x)]＜f(

3

cos2x+m)（6分）
又∵f（x）是R上的减函数 2sin2(

π

4

+x)＞

3

cos2x+m（8分）
即2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x＞m对一切x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立
2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)+1（10分）

当x∈[

π

4

，

π

2

]时，2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，sin(2x-

π

3

)∈[

1

2

，1]（12分）
2sin(2x-

π

3

)+1的最小值为2，
∴m＜2（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）对任意x、y∈R恒成立，在R上单调..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：