已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=3x9x+1-12，（1）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的单调性；（2）求y=f（x）的值域；（3）求不等式f(x)＞13的解集．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=3x9x+1-12，（1）判断..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=

3x

9x+1

-

1

2

，
（1）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的单调性；
（2）求y=f（x）的值域；
（3）求不等式f(x)＞

1

3

的解集．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设x₁＜x₂＜0，则3x1＜3x2，3x1+x2＜1
∵f(x1)-f(x2)=

3x1

9x1+1

-

3x2

9x2+1

=

3x1+2x2+3x1-32x1+x2-3x2

(9x1+1)(9x2+1)

=

(3x1-3x2)(1-3x1+x2)

(9x1+1)(9x2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），即y=f（x）在（-∞，0）上是增函数．
（2）∵0＜

3x

9x+1

=

1

3x+

1

3x

≤

1

2

，
∴当x≤0时，f(x)=

3x

9x+1

-

1

2

∈(-

1

2

，0]；
∵当x＞0时，f(x)=

1

2

-

3x

9x+1

∈(0，

1

2

)．
综上得 y=f（x）的值域为 (-

1

2

，

1

2

)．
（3）∵f(x)∈(-

1

2

，

1

2

)，
又∵f(x)＞

1

3

，∴f(x)∈(

1

3

，

1

2

)，此时f(x)=

1

2

-

3x

9x+1

单调递增，
∵f(1)=

1

5

＜

1

3

，∴f(x)∈(

1

3

，

1

2

)时，x＞1?3^x＞3．
令

1

2

-

3x

9x+1

＞

1

3

，
即

3x

9x+1

＜

1

6

?32x-6?3x+1＞0?3x＞3+2

2

?x＞log3(3+2

2

)，
∴不等式f(x)＞

1

3

的解集是(log3(3+2

2

)，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=3x9x+1-12，（1）判断..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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