已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x）-x的最大值；（2）若?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x）-x的最大值；（2）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数g（x）=f（x）-x的最大值；
（2）若?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：龙泉驿区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）g（x）=f（x）-x=lnx-x（x＞0），则g′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

．
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，则g（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上单调递减，
所以，g（x）在x=1处取得最大值，且最大值为-1． …（3分）
（2）由条件得

a≥

lnx

x

a≤x+

1

x

在x＞0上恒成立．
设h（x）=

lnx

x

，则h′（x）=

1-lnx

x2

．
当x∈（0，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，
所以，h（x）≤

1

e

．
要使f（x）≤ax恒成立，必须a≥

1

e

．
另一方面，当x＞0时，x+

1

x

≥2，要使ax≤x²+1恒成立，
必须a≤2．
所以，满足条件的a的取值范围是[

1

e

，2]． …（7分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x）-x的最大值；（2）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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