设函数y=f(x)=ax+1x+b(a≠0)的图象过点（0，-1）且与直线y=-1有且只有一个公共点；设点P（x0，y0）是函数y=f（x）图象上任意一点，过点P分别作直线y=x和直线x=1的垂线，垂足分别是M-数学试题及答案

1、试题题目：设函数y=f(x)=ax+1x+b(a≠0)的图象过点（0，-1）且与直线y=-1有且只..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

设函数y=f(x)=ax+

1

x+b

(a≠0)的图象过点（0，-1）且与直线y=-1有且只有一个公共点；设点P（x₀，y₀）是函数y=f（x）图象上任意一点，过点P分别作直线y=x和直线x=1的垂线，垂足分别是M，N．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心Q；
（3）证明：线段PM，PN长度的乘积PM?PN为定值；并用点P横坐标x₀表示四边形QMPN的面积．．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f（x）=ax+

1

x+b

（a≠0）的图象过点（0，-1）
∴f（0）=-1得b=-1
所以f（x）=ax+

1

x+1

，（2分）
∵f（x）的图象与直线y=-1有且只有一个公共点
∴-1=ax+

1

x+1

只有一解即x[ax+（a-1）]=0只有一解∴a=1
∴f（x）=x+

1

x-1

（4分）
（2）证明：已知函数y₁=x，y₂=

1

x

都是奇函数．
所以函数g（x）=x+

1

x

也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．
而f（x）=x-1+

1

x-1

+1
可知，函数g（x）的图象向右、向上各平移1个单位，即得到函数f（x）的图象，
故函数f（x）的图象是以点Q（1，1）为中心的中心对称图形．（9分）
（3）证明：∵P点(x0，x0+

1

x0-1

)
过P作PA⊥x轴交直线y=1于A点，交直线y=x于点B，
则QA=PN=AB=x₀-1，QB=

2

(x0-1)．
PA=y_P-1=x₀-1+

1

x0-1

，∴PB=PA-AB=

1

x 0-1

，
∴PM=BM=

2

PB=

1

2

(x0-1)

．
∴PM?PN=

1

2

(x0-1)

．（x₀-1）=

2

为定值．（13分）
连QP；∵QM=QB+BM=

2

(x0-1)+

1

2

(x0-1)

，
∴S_△QMP=

1

2

QM×PM=

1

2

×
[

2

(x0-1)+

1

2

(x0-1)

].

1

2

(x0-1)

=

1

2

+

1

4(x0-1)2

又S_△QNP=

1

2

NP×PA=

1

2

（x₀-1）．（x₀-1+

1

x0-1

）=

1

2

(x0-1)2+

1

2

∴S_QMPN=

1

2

(x0-1)2+

1

2

+

1

2

+

1

4(x0-1)2

=

1

2

(x0-1)2+

1

4(x0-1)2

+1（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数y=f(x)=ax+1x+b(a≠0)的图象过点（0，-1）且与直线y=-1有且只..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：