已知函数F（x）=2x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若不等式g（2x）+ah（x）≥0对?x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是_____

1、试题题目：已知函数F（x）=2x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数F（x）=2^x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若不等式g（2x）+ah（x）≥0对?x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由F（x）=g（x）+h（x）即2^x=g（x）+h（x）①，得2^-x=g（-x）+h（-x），
又g（x），h（x）分别为偶函数、奇函数，所以2^-x=g（x）-h（x）②，
联立①②解得，g（x）=

2x+2-x

2

，h（x）=

2x-2-x

2

．
g（2x）+ah（x）≥0，即

22x+2-2x

2

+a?

2x-2-x

2

≥0，也即（2^2x+2^-2x）+a（2^x-2^-x）≥0，即（2^x-2^-x）²+2+a（2^x-2^-x）≥0，
令t=2^x-2^-x，∵x∈[1，2]，∴t∈[

3

2

，

15

4

]，则不等式变为t²+2+at≥0，
所以不等式g（2x）+ah（x）≥0对?x∈[1，2]恒成立，等价于t²+2+at≥0对t∈[

3

2

，

15

4

]恒成立，也即a≥-t-

2

t

对t∈[

3

2

，

15

4

]恒成立，
令y=-t-

2

t

，t∈[

3

2

，

15

4

]，则y′=-1+

2

t2

=

2-t2

t2

＜0，所以y=-t-

2

t

在[

3

2

，

15

4

]上递减，
所以y_max=-

3

2

-

2

3

2

=-

17

6

，所以a≥-

17

6

．
故答案为：a≥-

17

6

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数F（x）=2x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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