已知定义域为R的偶函数f（x）=ax+b?a-x（a＞0，a≠1，b∈R）．（1）求实数b的值；（2）判断并证明f（x）的单调性；（3）若f((log2x)2-log2x+1)≥f(m+log12x2)对任意x∈[2，4]恒成立，求实数m的-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义域为R的偶函数f（x）=ax+b?a-x（a＞0，a≠1，b∈R）．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知定义域为R的偶函数f（x）=a^x+b?a^-x（a＞0，a≠1，b∈R）．
（1）求实数b的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若f((log2x)2-log2x+1)≥f(m+log

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x2)对任意x∈[2，4]恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可得，f（-x）=f（x），可得 a^-x+b?a^x=a^x+b?a^-x，∴（b-1）（a^x-a^-x）=0，解得 b=1．…（3分）
（2）设0≤x₁＜x₂，∵f(x1)-f(x2)=(ax1+a-x1)-(ax2+a-x2)=(ax1-ax2)+(a-x1-a-x2)
=(ax1-ax2)+

ax2-ax1

ax1+x2

=(ax1-ax2)(

ax1+x2-1

ax1+x2

)，
当a＞1时，ax1-ax2＜0，ax1+x2＞1，可得f（x₁）＜f（x₂），故f（x）为[0，+∞）上的增函数．
当a＜1时，ax1-ax2＞0，ax1+x2＜1，可得f（x₁）＜f（x₂），f（x）为[0，+∞）上的增函数．
综上可得，当a＞0，a≠1时，f（x）为[0，+∞）上的增函数．…（7分）
（3）f((log2x)2-log2x+1)≥f(m+log

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x2)对任意x∈[2，4]恒成立，等价于f((log2x)2-log2x+1)≥f(m-2log2x) 对任意x∈[2，4]恒成立，
等价于 |(log2x)2-log2x+1|≥|m-2log2x| 对任意x∈[2，4]恒成立，
等价于-(log2x)2+log2x-1≤m-2log2x≤(log2x)2-log2x+1对任意x∈[2，4]恒成立．
令t=log₂x，问题等价于-t²+3t-1≤m≤t²+t+1对任意t∈[1，2]恒成立．
由于函数-t²+3t-1在[1，2]上的最大值为

5

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，t²+t+1在[1，2]上的最小值为 3，
故问题等价于

5

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≤m≤3，故实数m的取值范围为[

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，3]．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义域为R的偶函数f（x）=ax+b?a-x（a＞0，a≠1，b∈R）．..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：