已知函数f（x）=x4-2ax2．（I）求证：方程f（x）=1有实根；（II）h（x）=f（x）-x在[0，1]上是单调递减的，求实数a的取值范围；（III）当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f′（x）|＞1的解集为空集，求-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x4-2ax2．（I）求证：方程f（x）=1有实根；（II）h（x）=f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x⁴-2ax²．
（I）求证：方程f（x）=1有实根；
（II）h（x）=f（x）-x在[0，1]上是单调递减的，求实数a的取值范围；
（III）当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f′（x）|＞1的解集为空集，求所有满足条件的实数a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）要证x⁴-2ax²=1的实根，
设t=x²，也就是证明方程t²-2at=1有非负实数根．
而△=4a²+4＞0，故可设t²-2at-1=0的两根为t₁，t₂．
t₁t₂=-1，∴t₁，t₂一正一负，
∴方程有正根
∴方程f（x）=1有实根；
（II）由题设知对任意的x∈[0，1]时，
h′（x）=f′（x）-1=4x³-4ax-1≤0恒成立，
x=0时显然成立；
对任意的0＜x≤1，a≥x²-

1

4x

，∴a≥（x²-

1

4x

）max
而g（x）=x²-

1

4x

在（0，1]上单调增，
∴a≥f（1）=

3

4

，
∴a的取值范围为[

3

4

，+∞）．
（III）由题设知，当x∈[0，1]时，|4x³-4ax|≤1恒成立
记F（x）=4x³-4ax
若a≤0则F（1）=4-4a≥4，不满足条件；
若a＞0则F′（x）=12x²-4a=12（x-

a

3

）（x+

a

3

）
①当

a

3

＜1即0＜a＜3时，F（x）在[0，

a

3

]上递减，在[

a

3

，1]上递增，
于是，|F（x）|max=max{-F（

a

3

），F（1）}=max{

8a

3

a

3

，4-4a}≤1
解之得：a=

3

4

②当

a

3

≥1即a≥3时，F（x）在[0，1]上递减，于是|F（x）|max=-F（1）=4-4a≥8，与题意矛盾．
综上所述：a=

3

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x4-2ax2．（I）求证：方程f（x）=1有实根；（II）h（x）=f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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