已知函数f（x）=x3-3ax+1，a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求所有的实数a，使得不等式-1≤f（x）≤1对x∈[0，3]恒成立．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-3ax+1，a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求所有的实..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f （x）=x³-3ax+1，a∈R．
（Ⅰ）求f （x）的单调区间；
（Ⅱ）求所有的实数a，使得不等式-1≤f （x）≤1对x∈[0，

3

]恒成立．

试题来源：浙江模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵f （x）=x³-3ax+1，
∴f′（x）=3x²-3a，
当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，f （x）的单调增区间为R；
当a＞0时，由f′（x）＞0得x＜-

a

或x＞

a

故f （x）的单调增区间为（-∞，-

a

）和（

a

，+∞），f （x）的单调减区间为（-

a

，

a

）
（II）当a≤0时，由（I）可知f （x）在[0，

3

]递增，且f（0）=1，此时无解；
当0＜a＜3时，由（I）可知f （x）在∈[0，-

a

）上递减，在（

a

，

3

]递增，
∴f （x）在[0，

3

]的最小值为f（

a

）=1-2a

a

∴

f(

a

)≥1

f(

3

)≤1

f(0)≤1

，即

a

≤1

a≥1

解得：a=1
当a≥3时，由（I）可知f （x）在[0，

3

]上递减，且f（0）=1，
∴f(

3

)=3

3

-3

3

a+1≥-1
解得：a≤1+

2

3

9

此时无解
综上a=1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-3ax+1，a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求所有的实..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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