设a≥0，函数f（x）=[x2+（a-3）x-2a+3]ex，g(x)=2-a-x-4x+1．（I）当a≥1时，求f（x）的最小值；（II）假设存在x1，x2∈（0，+∞），使得|f（x1）-g（x2）|＜1成立，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设a≥0，函数f（x）=[x2+（a-3）x-2a+3]ex，g(x)=2-a-x-4x+1．（I）当a≥1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

设a≥0，函数f（x）=[x²+（a-3）x-2a+3]e^x，g(x)=2-a-x-

4

x+1

．
（ I）当a≥1时，求f（x）的最小值；
（ II）假设存在x₁，x₂∈（0，+∞），使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f'（x）=[x²+（a-1）x-a]e^x=（x+a）（x-1）e^x
∵a≥1，
∴x∈（-∞，-a）时，f（x）递增，x∈（-a，1）时，f（x）递减，x∈（1，+∞）时，f（x）递增，
所以f（x）的极大值点为x₁=-a，极小值点为x₂=1，
而f（1）=（1-a）e≤0，f(-a)=

a+3

ea

＞0，
由于，对二次函数y=x²+（a-3）x-2a+3，对称轴为x=

3-a

2

＞-a，y（-a）=a+3＞0，
∴当x≤-a时，y=x²+（a-3）x-2a+3＞0，
∴f（x）＞0．
当x＞-a时，f（x）的最小值为f（1）=（1-a）e．
所以，f（x）的最小值是（1-a）e．
（ II）由（Ⅰ）知f（x）在（0，+∞）的值域是：
当a≥1时，为[（1-a）e，+∞），当0＜a＜1时，为（0，+∞）．
而g(x)=2-a-x-

4

x+1

在（0，+∞）的值域是为（-∞，-a-1），
所以，当a≥1时，令（1-a）e-（-a-1）＜1，并解得a＞

e

e-1

，
当0＜a＜1时，令0-（-a-1）＜1，无解．
因此，a的取值范围是a＞

e

e-1

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a≥0，函数f（x）=[x2+（a-3）x-2a+3]ex，g(x)=2-a-x-4x+1．（I）当a≥1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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