设定义在R上的函数f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，a0，a1，a2，a3，a4∈R，当x=-1时，f（x）取得极大值23，且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）在函数-数学试题及答案

1、试题题目：设定义在R上的函数f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，a0，a1，a2，a3，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

设定义在R上的函数f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄，a₀，a₁，a₂，a₃，a₄∈R，当x=-1时，f（x）取得极大值

2

3

，且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在函数y=f（x）的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在[-

2

，

2

]上？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设xn=

2n-1

2n

， ym=

2

(1-3m)

3m

(m，n∈N*)，求证：|f(xn)-f(ym)|＜

4

3

．

试题来源：朝阳区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）将y=f（x+1）的图象向右平移1个单位，得到y=f（x）的图象，
所以y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即y=f（x）是奇函数，
所以f（x）=a₁x³+a₃x，由题意，得

f′(-1)=3a1+a3=0

f(-1)=-a1-a3=

2

3

?

a1=

1

3

a3=-1.

所以f(x)=

1

3

x3-x．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=x²-1，
假设存在两切点为(x1，f(x1))，(x2，f(x2)) (x1，x2∈[-

2

，

2

])，
则f'（x₁）?f'（x₂）=（x₁²-1）（x₂²-1）=-1．因为（x₁²-1）、（x₂²-1）∈[-1，1]
所以

x

21

-1=-1

x

22

-1=1

或

x

21

-1=1

x

22

-1=-1.

即

x1=0

x2=±

2

或

x1=±

2

x2=0

从而可得所求两点的坐标分别为(0，0)，(

2

，-

2

3

)或(0，0)，(-

2

，

2

3

)．
（Ⅲ）因为当x∈[

1

2

，1)时，f'（x）＜0，所以f（x）在[

1

2

，1)递减．
由已知得xn∈[

1

2

，1)，
所以f(xn)∈(f(1)，f(

1

2

)]，即f(xn)∈(-

2

3

，-

11

24

]．
注意到x＜-1时，f′（x）＞0，-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，1）上递减，
由于y_m=

2

3m

-

2

，
所以ym∈(-

2

，-

2

3

]．
因为-

2

＜-1＜-

2

3

，
所以f(ym)∈(f(-

2

)，f(-1)]，
即f(ym)∈(

2

3

，

2

3

]．
所以|f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn)＜

2

3

-(-

2

3

)=

4

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设定义在R上的函数f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，a0，a1，a2，a3，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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