已知函数f（x）=lg（3-（3-1）tanx-tan2x）．（1）求函数f（x）的定义域．（2）若β是两个模长为2的向量a，b的夹角，且不等式f（x）≤lg（1+sinβ）对于定义域内的任意实数x恒成立，求a+b的取值范-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lg（3-（3-1）tanx-tan2x）．（1）求函数f（x）的定义域．（2）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lg（

3

-（

3

-1）tanx-tan²x）．
（1）求函数f（x）的定义域．
（2）若β是两个模长为2的向量

a

，

b

的夹角，且不等式f（x）≤lg（1+sinβ）对于定义域内的任意实数x恒成立，求

a

+

b

的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解．（1）令

3

-(

3

-1)tanx-tan2 x＞0，得-

3

＜tanx＜1，…（2分）
由此可得所求函数的定义域为D={x|kπ-

π

3

＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z}．…（4分）
（2）当x∈D时，tanx∈(-

3

，1)而0＜

3

-(

3

-1)tanx-tan2x=(

3

+tanx)(1-tanx)
≤(

(

3

+tanx)+(1-tanx)

2

)2=1+

3

2

…（6分）
取等条件是

3

+tanx=1-tanx即tanx=

1-

3

2

，
故f（x）有最大值lg(1+

3

2

)，…（7分）
原不等式等价于lg(1+

3

2

)≤lg(1+sinβ)
∴sinβ≥

3

2

且0≤β≤π
∴

π

3

≤β≤

2π

3

∴

π

6

≤β≤

π

3

…（8分）
又|

a

+

b

|=

(

a

+

b

)2

=

8+8cosβ

=4|cos

β

2

|=4cos

β

2

…（10分）
当

1

2

β=

π

6

时有最大值2

3

而当

1

2

β=

1

3

π时有最小值2，
故|

a

+

b

|的值域是[2，2

3

]．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lg（3-（3-1）tanx-tan2x）．（1）求函数f（x）的定义域．（2）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：