已知函数f(x)=x2+ax+bx(x≠0)是奇函数，且满足f（1）=f（4）（Ⅰ）求实数a、b的值；（Ⅱ）试证明函数f（x）在区间（0，2]单调递减，在区间（2，+∞）单调递增；（Ⅲ）是否存在实数k同时满足以下两-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x2+ax+bx(x≠0)是奇函数，且满足f（1）=f（4）（Ⅰ）求实数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

x2+ax+b

x

(x≠0)是奇函数，且满足f（1）=f（4）
（Ⅰ）求实数a、b的值；
（Ⅱ）试证明函数f（x）在区间（0，2]单调递减，在区间（2，+∞）单调递增；
（Ⅲ）是否存在实数k同时满足以下两个条件：
①不等式f(x)+

k

2

＜0对x∈（0，+∞）恒成立；
②方程f（x）=k在x∈[-6，-1]上有解．若存在，试求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由f（1）=f（4）得1+a+b=

16+4a+b

4

，解得b=4． …（1分）
由f(x)=

x2+ax+b

x

(x≠0)为奇函数，得f（x）+f（-x）=0对x≠0恒成立，
即

x2+ax+b

x

+

x2-ax+b

-x

=2a=0，所以a=0． …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=x+

4

x

．
任取x₁，x₂∈（0，2]，且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

，…（5分）
∵0＜x₁＜x₂≤2，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），
所以，函数f（x）在区间（0，2]单调递减． …（7分）
类似地，可证f（x）在区间（2，+∞）单调递增． …（8分）
（Ⅲ）对于条件①，由（Ⅱ）得函数f（x）在（0，+∞）上有最小值f（2）=4，
故若f(x)+

k

2

＜0对x∈（0，+∞）恒成立，
则需f（x）_min＞-

k

2

，则4＞-

k

2

，
∴k＞-8；
对于条件②，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（-∞，-2）上递增，在[-2，0）上递减，
∴函数f（x）在[-6，-2]上递增，在[-2，0）上递减，
又f（-6）=-

20

3

，f（-2）=-4，f（-1）=-5，
所以函数f（x）在[-6，-1]上的值域为[-

20

3

，-4]，
若方程f（x）=k在[-6，-1]上有解，则需-

20

3

≤k≤-4，
若同时满足条件①②，则需

k＞-8

-

20

3

≤ k≤-4

．
所以：-

20

3

≤k≤-4．
故当-

20

3

≤k≤-4时，条件①②同时满足．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x2+ax+bx(x≠0)是奇函数，且满足f（1）=f（4）（Ⅰ）求实数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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