已知函数f（x）=lnx-ax，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数h（x）=x2-mx+4，当a=2时，若?x1∈（0-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx-ax，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx-

a

x

，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数h（x）=x²-mx+4，当a=2时，若?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

试题来源：东莞一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)=

x+a

x2

，
①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；
②当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞-a；由f′（x）＜0，得x＜-a；
故f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）g（x）=ax-

a

x

-5lnx，g（x）的定义域为（0，+∞），
g′(x)=a+

a

x2

-

5

x

=

ax2-5x+a

x2

，
因为g（x）在其定义域内为增函数，所以?x∈（0，+∞），g′（x）≥0，
∴ax²-5x+a≥0，
∴a（x²+1）≥5x，
即a≥

5x

x2+1

，
∴a≥[

5x

x2+1

]max．
∵

5x

x2+1

=

5

x+

1

x

≤

5

2

，当且仅当x=1时取等号，
所以a≥

5

2

．
（Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x-

2

x

-5lnx，g′(x)=

2x2-5x+2

x2

，
由g′（x）=0，得x=

1

2

或x=2．
当x∈(0，

1

2

)时，g′（x）≥0；当x∈(

1

2

，1)时，g′（x）＜0．
所以在（0，1）上，g(x)max=g(

1

2

)=-3+5ln2，
而“?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立”等价于
“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”
而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，
所以有

g(

1

2

)≥h(1)

g(

1

2

) ≥h(2)

，
∴

-3+5ln2≥5-m

-3+5ln2≥8-2m

，
∴

m≥8-5ln2

m≥

1

2

(11-5ln2)

，
解得m≥8-5ln2，
所以实数m的取值范围是[8-5ln2，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx-ax，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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