已知关于x的函数f（x）=x2+2ax+b（其中a，b∈R）（Ⅰ）求函数|f（x）|的单调区间；（Ⅱ）令t=a2-b．若存在实数m，使得|f(m)|≤14与|f(m+1)|≤14同时成立，求t的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知关于x的函数f（x）=x2+2ax+b（其中a，b∈R）（Ⅰ）求函数|f（x）|的单调..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知关于x的函数f（x）=x²+2ax+b（其中a，b∈R）
（Ⅰ）求函数|f（x）|的单调区间；
（Ⅱ）令t=a²-b．若存在实数m，使得|f(m)|≤

1

4

与|f(m+1)|≤

1

4

同时成立，求t的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）=x²+2ax+b=（x+a）²-（a²-b）
∴①当a²-b≤0时，单调区间为：（-∞，-a]上为减，[-a，+∞）上为增；（2分）
②当a²-b＞0时，单调区间为：(-∞，-a-

a2-b

)减，
(-a-

a2-b

，-a)增，(-a，-a+

a2-b

)减，(-a+

a2-b

，+∞)增（5分）
（Ⅱ）因为：若存在实数m，使得|f(m)|≤

1

4

与|f(m+1)|≤

1

4

同时成立，即为两变量对应的函数值都小于等于

1

4

的两变量之间间隔不超过1，故须对a²-b和-

1

4

，

1

4

的大小分情况讨论
①当-

1

4

≤a2-b≤0时，由方程x2+2ax+b=

1

4

，解得x1，2=-a±

a2-b+

1

4

，
此时|x2-x1|=2

a2-b+

1

4

≤1，不满足．（8分）
②当

1

4

＞a2-b＞0时，由方程x2+2ax+b=

1

4

，解得x1，2=-a±

a2-b+

1

4

此时|x2-x1|=2

a2-b+

1

4

∈(1，

2

)，满足题意．（11分）
③当a2-b≥

1

4

时，由方程x2+2ax+b=

1

4

，方程x2+2ax+b=-

1

4

和解得x1，2=-a±

a2-b+

1

4

，x3，4=-a±

a2-b-

1

4

此时由于|x2-x1|=2

a2-b+

1

4

∈[

2

，+∞)，|x3-x1|=

a2-b+

1

4

-

a2-b-

1

4

=

1

2

a2-b+

1

4

+

a2-b-

1

4

≤

2

4

＜1
所以只要|x3-x4|=2

a2-b-

1

4

≤1即可，此时a2-b≤

1

2

，综上所述t的最大值为

1

2

．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知关于x的函数f（x）=x2+2ax+b（其中a，b∈R）（Ⅰ）求函数|f（x）|的单调..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：