已知二次函数f（x）=x2-ax+c，（其中c＞0）．（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（2）当f（x）为偶函数时，若函数g(x)=f(x)x，指出g（x）在（0，+∞）上单调性情况，并证明之．-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=x2-ax+c，（其中c＞0）．（1）若函数f（x）为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=x²-ax+c，（其中c＞0）．
（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；
（2）当f（x）为偶函数时，若函数g(x)=

f(x)

x

，指出g（x）在（0，+∞）上单调性情况，并证明之．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），…（2分）
即（-x）²+ax+c=x²-ax+c，
即2ax=0恒成立 …（3分）
∴a=0 …（4分）
（2）由（1），若f（x）为偶函数，则a=0，
∴g(x)=

f(x)

x

=

x2+c

x

=x+

c

x

，x∈（0，+∞）
当x∈（0，+∞）时，g（x）在x∈（0，

c

）上单调递减，在x∈（

c

，+∞）上单调递增，证明如下：…（5分）
设任意x₁，x₂∈（0，

c

），且x₁＜x₂，
g（x₁）-g（x₂）=（x₁+

c

x1

）-（x₂+

c

x2

）=（x₁-x₂）+（

c

x1

-

c

x2

）=（x₁-x₂）(

x1?x2-c

x1?x2

) …（7分）
∵x₁，x₂∈（0，

c

），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁?x₂＜c
即x₁?x₂-c＜0
∴（x₁-x₂）(

x1?x2-c

x1?x2

)＞0，
即g（x₁）-g（x₂）＞0
即g（x₁）＞g（x₂）
∴g（x）在（0，

c

）上单调递减 …（9分）
同理，可得g（x）在（

c

，+∞）上单调递增 …（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=x2-ax+c，（其中c＞0）．（1）若函数f（x）为..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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