已知f（x）是二次函数，对任意x∈R都满足f（x+1）-f（x）=-2x+1，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）如果函数y=f（x）的图象恒在y=-x+m的图象下方，求实数m的取值范围；（3）如果m∈[-1，1-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）是二次函数，对任意x∈R都满足f（x+1）-f（x）=-2x+1，且f（0）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知f（x）是二次函数，对任意x∈R都满足f（x+1）-f（x）=-2x+1，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）如果函数y=f（x）的图象恒在y=-x+m的图象下方，求实数m的取值范围；
（3）如果m∈[-1，1]时，不等式f（x）＞mx+1恒成立，求实数x的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），…..1 分
∵f（0）=1
∴c=1，…．（2分）
又f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=-2x+1，
∴a=-1，b=2，…．（2分）
故f（x）=-x²+2x+1…．（1分）
（2）由题意-x²+2x+1＜-x+m在x∈R上恒成立，即m＞-x²+3x+′1在R上恒成立．
令g（x）=-x²+3x+1易知g（x）_max=g（

3

2

）=

13

4

，所以m＞

13

4

．…（4分）
说明：此题若直接用△做同样得满分．
（3）因为m∈[-1，1]时，不等式f（x）＞mx+1恒成立，
即mx+x²-2x＜0在m∈[-1，1]上恒成立．
令g（m）=mx+（x²-2x），
则由

g(-1)=x2-3x＜0

g(1)=x2-x＜0

∴0＜x＜1…．（4分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）是二次函数，对任意x∈R都满足f（x+1）-f（x）=-2x+1，且f（0）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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