设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；（2）当x＞1时，f（x）＜0；（3）f（3）=﹣1，（I）求f（1）、的值；（II）如果不等式f（x）+-数学试题及答案

1、试题题目：设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-12 07:30:00

试题原文

设函数y=f（x）是定义在R₊上的函数，并且满足下面三个条件：
（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）当x＞1时，f（x）＜0；
（3）f（3）=﹣1，
（I）求f（1）、

的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．
（III）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正数k的取值范围．

试题来源：浙江省期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（I）令x=y=1易得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=﹣1﹣1=﹣2 且

，
得

．
（II）设0＜x₁＜x₂＜+∞，
由条件（1）可得

，
因

，由（2）知

，
所以f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在R₊上是递减的函数．
由条件（1）及（I）的结果得：

其中0＜x＜2，
由函数f（x）在R₊上的递减性，可得：

，
由此解得x的范围是

．
（III）同上理，不等式f（kx）+f（2﹣x）＜2可化为

且0＜x＜2，
得

，
此不等式有解，等价于

，
在0＜x＜2的范围内，易知x（2﹣x）_max=1，
故

即为所求范围．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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