已知A1，A2为双曲线C：x22-y2=1的左右两个顶点，一条动弦垂直于x轴，且与双曲线交于P，Q（P点位于x轴的上方），直线A1P与直线A2Q相交于点M，（1）求出动点M（2）的轨迹方程（2）设点N-数学试题及答案

1、试题题目：已知A1，A2为双曲线C：x22-y2=1的左右两个顶点，一条动弦垂直于x轴..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

已知A₁，A₂为双曲线C：

x2

2

-y2=1的左右两个顶点，一条动弦垂直于x轴，且与双曲线交于P，Q（P点位于x轴的上方），直线A₁P与直线A₂Q相交于点M，
（1）求出动点M（2）的轨迹方程
（2）设点N（-2，0），过点N的直线交于M点的轨迹上半部分A，B两点，且满足

NA

=λ

NB

，其中λ∈[

1

5

，

1

3

]，求出直线AB斜率的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的倾斜角与斜率

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)
直线A₁P的方程为：

y

y0

=

x+

2

x0+

2

，（1）
直线A₂Q的方程为：

y

-y0

=

x-

2

x0-

2

，（2）
将（1）×（2）得到：

y2

-y02

=

x2-2

x02-2

，又因为

x02

2

-y02=1．
所以得到M的轨迹方程为：

x2

2

+y2=1，（y≠0）
（2）

NA

=λ

NB

，∴A，B，N三点共线，而点N的坐标为（-2，0）．
设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．
由

y=k(x+2)

x2

2

+y2=1

消去x得(

1

k

y-2)2+2 y2=2，即

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0
根据条件可知

k≠0

(

4

k

) 2-8?

2k2+1

k2

＜0

解得0＜|k|＜

2

（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据韦达定理，得

y1+ y2=

4k

2k2+1

y1y2=

2k2

2k2+1

又由

NA

=λ

NB

得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂）

x1+2=λ(x2+2)

y1=λy2

从而

(1+λ)y2=

4k

2k2+1

λ

y

22

=

2k2

2k2+1

消去y₂得

(1+λ)2

λ

=

8

2k2+1

消去
令?(λ)=

(1+λ)2

λ

，λ∈[

1

5

，

1

3

]则?′(λ)=1-

1

λ2

=

λ2-1

λ2

由于

1

5

≤λ≤

1

3

所以?（λ）是区间[

1

5

，

1

3

]上的减函数，
从而?(

1

3

)≤?(λ)≤?(

1

5

)，即

16

3

≤?(λ)≤

36

5

，

16

3

≤

8

2k2+1

≤

36

5

，∴

16

3

≤

8

2k2+1

≤

36

5

解得

2

6

≤|k|≤

1

2

而0＜k＜

2

，∴

2

6

≤k≤

1

2

因此直线AB的斜率的取值范围是[

2

6

，

1

2

]

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知A1，A2为双曲线C：x22-y2=1的左右两个顶点，一条动弦垂直于x轴..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的倾斜角与斜率”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的倾斜角与斜率”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：