对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列．（Ⅰ）判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由．（Ⅱ）是否存在正项等比数列{an}，使得{an}的前-数学试题及答案

1、试题题目：对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

对于数列{a_n}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N^*，都有|a_n|≤M，则称{a_n}为有界数列．
（Ⅰ）判断a_n=2+sinn是否为有界数列并说明理由．
（Ⅱ）是否存在正项等比数列{a_n}，使得{a_n}的前n项和S_n构成的数列{S_n}是有界数列？若存在，求数列{a_n}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）判断数列an=

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n-1

(n≥2)是否为有界数列，并证明．

试题来源：重庆一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）1≤a_n=2+sinn≤3，
故{a_n}为有界数列…（2分）
（Ⅱ）设公比为q，当0＜q＜1时，Sn=

a1(1-qn)

1-q

＜

a1

1-q

，
则正数数列{S_n}满足|Sn|＜

a1

1-q

，即为有界数列；
当q=1时，S_n=na₁→+∞，故为无界数列；
当q＞1时，S_n=a₁+a₂+…+a_n＞na₁→+∞，此时为无界数列．
综上：当且仅当0＜q＜1时，{S_n}为有界数列…（6分）．
（Ⅲ）{a_n}为无界数列，事实上an=

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n-1

＞

1

4

+

1

6

+

1

8

+…+

1

2n

∴2an＞

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+…+

1

2n-1

+

1

2n

∴2a2n＞

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+…+

1

2?2n

=(

1

3

+

1

4

)+(

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

)+(

1

9

+…+

1

16

)+…+(

1

2n+1

+

1

2n+2

+…+

1

2n+2n

)＞

1

4

×2+

1

8

×4+

1

16

×8+…+

1

2n×2

×2n=

n

2

∴a2n＞

n

4

故当n无限增大时a_n也无限增大，
所以{a_n}无界…（12分）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：