已知函数f（x）=log33x1-x，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为12的点P满足2OP=OM+ON（O为坐标原点）．（Ⅰ）求证：y1+y2为定值；（Ⅱ）若Sn=f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)，其中-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=log33x1-x，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=log₃

3

x

1-x

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为

1

2

的点P满足2

OP

=

OM

+

ON

（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y₁+y₂为定值；
（Ⅱ）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知a_n=

1

6

， n=1

1

4(Sn+1)(Sn+1+1)

，n≥2

，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求m的取值范围．

试题来源：闵行区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知可得，

OP

=

1

2

(

OM

+

ON

)，
∴P是MN的中点，有x₁+x₂=1．
∴y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）
=log3

3

x1

1-x1

+log3

3

x2

1-x2

=log3(

3

x1

1-x1

?

3

x2

1-x2

)
=log3

3x1x2

(1-x1)(1-x2)

=log3

3x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=log3

3x1x2

1-1+x1x2

=1．
（2）由（Ⅰ）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₁）=1
Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)，
Sn=f(

n-1

n

)++f(

2

n

)+f(

1

n

)，
相加得
2Sn=[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+[(

2

n

)+f(

n-2

n

)]++[f(

n-1

n

)+f(

1

n

)]
=

1+1++1

(n-1)个1

=n-1
∴Sn=

n-1

2

．
（3）当n≥2时，
an=

1

4(Sn+1)(Sn+1+1)

=

1

4×

n+1

2

?

n+2

2

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

．
又当n=1时，
a1=

1

6

=

1

2

-

1

3

．
∴an=

1

n+1

-

1

n+2

．
Tn=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

n

2(n+2)

．
由于T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，
m＞

Tn

Sn+1+1

=

n

(n+2)2

=

1

n+

4

n

+4

∵n+

4

n

≥4，当且仅当n=2时，取“=”，
∴

1

n+

4

n

+4

≤

1

4+4

=

1

8

因此m＞

1

8

．
综上可知，m的取值范围是(

1

8

，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=log33x1-x，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：