设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足S4=8且a1、a2、a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足：bn-an=2n+1，n∈N*，Tn为数列{bn}的前n项和，问-数学试题及答案

1、试题题目：设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足S4=8且a1、a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

设{a_n}是公差不为零的等差数列，S_n为其前n项和，满足S₄=8且a₁、a₂、a₅成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：bn-an=2n+1，n∈N^*，T_n为数列{b_n}的前n项和，问是否存在正整数n，使得T_n=2012成立？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设数列{a_n}的公差为d，且d≠0
∵S₄=8且a₁、a₂、a₅成等比数列，
∴

4a1+6d=8

(a1+d)2=a1(a1+4d)

解得

a1=

1

2

d=1

或

a1=2

d=0

（舍去）…（3分）
∴an=

1

2

+(n-1)×1=n-

1

2

…（6分）
（II）由题知：bn=an+2n+1=n-

1

2

+2n+1，
∴T_n=2²+2³+…+2^n-1+

n

2

(

1

2

+n-

1

2

)=

1

2

n2+2n+2-4 …（10分）
若T_n=2012，则

1

2

n2+2n+2-4=2012，即n²+2ⁿ⁺³=4032
令f（n）=n²+2ⁿ⁺³，知f（n）单调递增，
当1≤n≤8时，f（n）≤8²+2¹¹=2112＜4032
当n≥9时，f（n）≥9²+2¹²=4177＞4032，
故不存在正整数n，使得T_n=2012成立． …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足S4=8且a1、a..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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