设数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn．（1）已知a1=1，d=2，（ⅰ）求当n∈N*时，Sn+64n的最小值；（ⅱ）当n∈N*时，求证：2S1S3+3S2S4+…+n+1SnSn+2＜516；（2）是否存在实数a1，使-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn．（1）已知a1=1，d=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}是公差为d的等差数列，其前n项和为S_n．
（1）已知a₁=1，d=2，
（ⅰ）求当n∈N^*时，

Sn+64

n

的最小值；
（ⅱ）当n∈N^*时，求证：

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

＜

5

16

；
（2）是否存在实数a₁，使得对任意正整数n，关于m的不等式a_m≥n的最小正整数解为3n-2？若存在，则求a₁的取值范围；若不存在，则说明理由．

试题来源：深圳一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）（ⅰ）∵a₁=1，d=2，
∴Sn=na1+

n(n-1)d

2

=n2，

Sn+64

n

=n+

64

n

≥2

n×

64

n

=16，
当且仅当n=

64

n

，即n=8时，上式取等号．故

Sn+64

n

的最小值是16．（4分）
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知S_n=n²，当n∈N^*时，

n+1

SnSn+2

=

n+1

n2(n+2)2

=

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]，（6分）

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

=

1

4

(

1

12

-

1

32

)+

1

4

(

1

22

-

1

42

)+…+

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]=

1

4

(

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

)-

1

4

[

1

32

+

1

52

+…+

1

(n+1)2

+

1

(n+2)2

]=

1

4

[

1

12

+

1

22

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

]，（8分）
∵

1

(n+1)2

+

1

(n+2)2

＞0，∴

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

＜

1

4

(

1

12

+

1

22

)＜

5

16

．（9分）
（2）假设对?n∈N^*，关于m的不等式a_m=a₁+（m-1）d≥n的最小正整数解为c_n=3n-2，
当n=1时，a₁+（c₁-1）d=a₁≥1；（10分）
当n≥2时，恒有

a1+(cn-1)d≥n

a1+(cn-2)d＜n

，即

(3d-1)n+(a1-3d)≥0

(3d-1)n+(a1-4d)＜0

，
从而

3d-1≥0

(3d-1)×2+(a1-3d)≥0

3d-1≤0

(3d-1)×2+(a1-4d)＜0

?d=

1

3

，1≤a1＜

4

3

．（12分）
当d=

1

3

，1≤a1＜

4

3

时，对?n∈N^*，且n≥2时，当正整数m＜c_n时，
有a1+

m-1

3

＜a1+

cn-1

3

且a1+

cn-1

3

＞n．（13分）
所以存在这样的实数a₁符合题意且a₁的取值范围是[1，

4

3

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn．（1）已知a1=1，d=..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：