已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=2tan+2（n≥2，t＞0），a1=1，其中Sn是数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求通项an；（Ⅱ）记数列{1anan+1}的前n项和为Tn，若Tn＜2对所有的n∈N*都成立．求证：0＜t≤1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=2tan+2（n≥2，t＞0），a1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知正项数列{ a_n }满足S_n+S_n-1=

	2
ta
	n

+2 （n≥2，t＞0），a₁=1，其中S_n是数列{ a_n }的前n项和．
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）记数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，若T_n＜2对所有的n∈N^*都成立．求证：0＜t≤1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵a₁=1，由S₂+S₁=

	2
ta
	2

+2，
得a₂=

	2
ta
	2

，∴a₂=0（舍）或a₂=

1

t

，
S_n+S_n-1=

	2
ta
	n

+2，①
S_n-1+S_n-2=

	2
ta
	n-1

+2 （n≥3）②
①-②得a_n+a_n-1=t（

	2
a
	n

-

	2
a
	n-1

）（n≥3），
（a_n+a_n-1）[1-t（a_n-a_n-1）]=0，
由数列{ a_n }为正项数列，
∴a_n+a_n-1≠0，故a_n-a_n-1=

1

t

（n≥3），
即数列{ a_n }从第二项开始是公差为

1

t

的等差数列．
∴a_n=

1n=1

n-1

t

n≥2

（Ⅱ）证明：∵T₁=1＜2，当n≥2时，
T_n=t+

t2

1×2

+

t2

2×3

+

t2

3×4

+…+

t2

(n-1)×n

=t+t²（1-

1

n

）
=t+t²

n-1

n

．
要使T_n＜2，对所有的n∈N^*恒成立，
只要T_n=t+t²

n-1

n

＜t+t²≤2成立，
∴0＜t≤1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=2tan+2（n≥2，t＞0），a1..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：