设数列{an}前n项和Sn，且Sn=2an-2，令bn=log2an（I）试求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设cn=bnan，求证数列{cn}的前n项和Tn＜2．（Ⅲ）对任意m∈N*，将数列{2bn}中落入区间（am，a2m）内的项-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}前n项和Sn，且Sn=2an-2，令bn=log2an（I）试求数列{an}的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}前n项和S_n，且S_n=2a_n-2，令b_n=log₂a_n
（I）试求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=

bn

an

，求证数列{c_n}的前n项和T_n＜2．
（Ⅲ）对任意m∈N*，将数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内的项的个数记为d_m，求数列{d_m}的前m项和T_m．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当n=1时，S₁=2a₁-2，a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，所以a_n=2a_n-1，数列{a_n}是以2为为公比的等比数列，且首项a₁=2，
通项公式为an=2×2^n-1=2ⁿ，
（Ⅱ）cn=

bn

an

=

n

2n

T_n=

1

21

+

2

22

+…

n

2n

，两边同乘以

1

2

得

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+…

n-1

2n

+

n

2n+1

两式相减得出

1

2

T_n=

1

21

+

1

22

+…

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

∴T_n=2-

n+2

2n

∴T_n＜2
（Ⅲ）数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内，即a_m＜2b_n＜a_2m，所以2^m＜2n＜2^2m，2^m-1＜n＜2^2m-1，
所以数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内的项的个数d_m=2^2m-1-2^m-1-1，
所以T_m．=

2(4m-1)

4-1

-

2m-1

2-1

-m=

1

3

×22m+1-2m-m+

1

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}前n项和Sn，且Sn=2an-2，令bn=log2an（I）试求数列{an}的..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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