已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且Sn是14与（an+1）2的等比中项．（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）若bn=an2n，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）若bn≤14m2-m-12对一切正整数n恒成立，-数学试题及答案

1、试题题目：已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且Sn是14与（an+1）2的等比中项．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且

Sn

是

1

4

与（a_n+1）²的等比中项．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若bn=

an

2n

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若bn≤

1

4

m2-m-

1

2

对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当 n≥2时，Sn=

1

4

(an+1)2，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2，
两式相减，整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由于数列{a_n}是正项数列，∴a_n-a_n-1=2，又a₁=1，所以数列{a_n}是首项a₁=1，d=2的等差数列，a_n=2n-1；
（2）bn=

an

2n

=

2n-1

2n

，Tn=

1

2

+

3

22

++

2n-1

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

++

2n-1

2n+1

相减化简得Tn=3-

2n+3

2n

（3）∵bn+1-bn=

3-2n

2n+1

当n=1，b₂＞b₁，当n≥2，b_n+1＜b_n，故当n=2时，b₂取到最大值

3

4

．
又bn≤

1

4

m2-m-

1

2

对一切正整数n恒成立，即

3

4

≤

1

4

m2-m-

1

2

解得m≤-1或m≥5

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且Sn是14与（an+1）2的等比中项．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：