如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点。（1）求点C到平面A1ABB1的距离；（2）若AB1⊥A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值。-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点。（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点。

（1）求点C到平面A₁ABB₁的距离；
（2）若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁-CD-C₁的平面角的余弦值。

试题来源：高考真题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB
又CD⊥AA₁。
故CD⊥平面A₁ABB₁．
所以点C到平面A₁ABB₁的距离为CD=

。

（2）如图，取D₁为A₁B₁的中点，连接DD₁，则DD₁∥AA₁∥CC₁又由（1）知CD⊥平面A₁ABB₁故CD⊥A₁D，CD⊥D₁D，
所以∠A₁DD₁为所求的二面角A₁-CD-C₁的平面角
因A₁D为A₁C在面A₁ABB₁中的射影，
又已知AB₁⊥A₁C由三垂线定理的逆定理得AB₁⊥A₁D
从而∠A₁AB₁、∠A₁DA都与∠B₁AB互余
因此∠A₁AB₁=∠A₁DA，
所以Rt△A₁AD∽Rt△B₁A₁A
因此AA₁：AD=A₁B₁：AA₁，即AA₁²=AD?A₁B₁=8，得AA₁=2 ，
从而A₁D=

所以Rt△A₁D₁D中，cos∠A₁DD₁=

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点。（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

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