已知数列｛an｝是以d为公差的等差数列，数列｛bn｝是以q为公比的等比数列（Ⅰ）若数列｛bn｝的前n项和为Sn，且a1＝b1＝d＝2，S3＜5b2＋a88

1、试题题目：已知数列｛an｝是以d为公差的等差数列，数列｛bn｝是以q为公比的等比..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-11 07:30:00

试题原文

已知数列｛a_n｝是以d为公差的等差数列，数列｛b_n｝是以q为公比的等比数列
（Ⅰ）若数列｛b_n｝的前n项和为S_n，且a₁＝b₁＝d＝2，S₃＜5b₂＋a₈₈－180，求整数q的值（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列｛b_n｝中是否存在一项b_k，使得b,k恰好可以表示为该数列中连续P（P∈N，P≥2）项和？请说明理由。
（Ⅲ）若b₁＝a_r，b₂＝a_s≠a_r， b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数）
求证：数列｛b_n｝中每一项都是数列｛a_n｝中的项.

试题来源：湖北省模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）由题意知a_n=2n，bn=2·

^n-1
∴由S₃＜5b₂＋a₈₈－180得.
b₁+b₂+b₃＜a₈₈＋5b₂－180

b₁-4b₂+b₃＜176-180

q²-4q+3＜0
解得1＜q＜3，q为值数，∴q=2.
（Ⅱ）假设数列｛b_n｝中存在一项b_k满足b_k=b_m+b_m+1+……b_m+p-1 ∴b_n=2ⁿ ∴b_k＞b_m+p-1

2^k＞2^m+p-1

k＞m+p-1

k≥m+p.
又b_k=2^k=b_m+b_m+1=2^m+2^m+¹+2^m+p-1=

=2^m+p-2^m
∴2^k＜2^m+p

k＜m+p与k≥m+p矛盾，
∴不存在
（Ⅲ）由b₁=a_r得b₂=b₁q=a_rq=a_s=a_r+(s-r)d，则

d=
又b₃=b₁q²=a_r.q²=a_t=a_r+(t-r)d

a_rq²-a_r=(t-r)

a_r(q+1)(q-1)=a_r(q-1).

∵a_s≠a_r

b₁≠b₂ ∴q≠1.
又a_r≠0 故q=

-1又t＞s＞r且（s-r）是(t-r)的约数
∴q是正整数且q≥2
对于数列｛b_n｝中任一项b_i(这里只讨论i＞3的情形)，
有b_i=a_rq^i-1= a_r+a_r(q^i-1-1)= a_r+ a_r（q-1）（1+q+…+q^i-2）
= a_r+d(s-r)(1+q+…+q^i-2)=a_r＋[((s-r)(1+q+…+qⁱ⁺²)+1)-1]d
由于（s-r）(1+q+…+q^i-2)+1为正整数
∴b_i一定是数列｛a_n｝中的项

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列｛an｝是以d为公差的等差数列，数列｛bn｝是以q为公比的等比..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

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